一元二次方程

一元二次方程
09-08-21  匿名提问 发布
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    clwqnlsno

    1.已知a是关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一个根,-a是关于x的一元二次方程x2+3x-m=0.试求a的值.
    答:把a代入方程x2-3x+m=0得:a2-3a+m=0;
    把-a代入方程x2+3x-m=0得:(-a)2+3*(-a)-m=0==>a2-3a-m=0
    所以m=0,所以a2-3a=0,所以a=3。a=0(不合题意,舍去),所以
    a=3

    2.如果我们知道方程(k2+2)x2+(5-k)x=1-3kx2 是关于x的一元二次方程.那么你能求得k的值吗?

    答 :方程(k2+2)x2+(5-k)x=1-3kx2 是关于x的一元二次方程。
    所以k2+2+3k≠0,
    所以k≠-1,k≠-2

    3(x2+3x+4)(x2+3x+5)=6.通过仔细观察.巧妙解题(不准展开解题.)
    答:通过观察,x2+3x+4比x2+3x+5始终小“1”,所以x2+3x+4=2,x2+3x+5=3,或者x2+3x+4=-3,x2+3x+5=-2(这两个方程无实根)。
    所以,x=-1,或x=-2,


    4已知m.n是关于x的方程x2-(p-2)x+1=0的两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值
    答:m.n是关于x的方程x2-(p-2)x+1=0的两个实数根,
    所以有:m2-(p-2)m+1=0和n2-(p-2)n+1=0
    所以:m2-mp+2m+1=0和n2-np+2n+1=0
    m2+mp+1=2mp-2m和n2+np+1=2np-2n
    所以:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(2mp-2m)*(2np-2n)=4mn(p-1)^2
    因为mn=1,所以:(m2+mp+1)(n2+np+1)=4(p-1)^2

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    xymhljh

    在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
      一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. 图片中一次项系数为b(4)将方程化为一般形式:ax²+bx+c=0时,应满足(a≠0)
    补充说明:
      1该部分的只是为初等数学知识,一般在初三学习。
      2该部分是高考的热点。

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    zwcad

    一元二次方程目录[隐藏]

    数学术语
    定义
    补充说明:
    一般形式
    一般解法
    判别方法
    列一元二次方程解题的步骤
    经典例题精讲
    韦达定理
    计算机解一元二次方程VB实现方法
    数学术语
    定义
    补充说明:
    一般形式
    一般解法
    判别方法
    列一元二次方程解题的步骤
    经典例题精讲
    韦达定理计算机解一元二次方程
    VB实现方法



    [编辑本段]数学术语
      
    [编辑本段]定义
      在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
      一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. 图片中一次项系数为b(4)将方程化为一般形式:ax²+bx+c=0时,应满足(a≠0)
    [编辑本段]补充说明:
      1该部分的只是为初等数学知识,一般在初三学习。
      2该部分是高考的热点。
    [编辑本段]一般形式
      ax^2+bx+c=0(a、b、c是实数a≠0)
      x^2+2x+1=0
    [编辑本段]一般解法
      1..配方法(可解全部一元二次方程)
      2.公式法(可解全部一元二次方程)
      3.因式分解法(可解部分一元二次方程)
      4.开方法(可解全部一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的,不过要一般形式)
      5.十字相乘法(可解部分一元二次方程)(要是一般形式)
      一、知识要点:
      一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
      础,应引起同学们的重视。
      一元二次方程的一般形式为:ax^2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
      的整式方程。
      解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
      法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
      二、方法、例题精讲:
      1、直接开平方法:
      直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
      方程,其解为x=m±√n
      例1.解方程(1)(3x+1)^2=7 (2)9x^2-24x+16=11
      分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以
      此方程也可用直接开平方法解。
      (1)解:(3x+1)^2=7
      ∴(3x+1)^2=7
      ∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
      ∴x= ...
      ∴原方程的解为x1=...,x2= ...
      (2)解: 9x^2-24x+16=11
      ∴(3x-4)^2=11
      ∴3x-4=±√11
      ∴x= ...
      ∴原方程的解为x1=...,x2= ...
      2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
      先将固定数c移到方程右边:ax^2+bx=-c
      将二次项系数化为1:x^2+x=-
      方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x^2+x+( )2=- +( )2
      方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
      当b2-4ac≥0时,x+ =±
      ∴x=...(这就是求根公式)
      例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
      解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
      将二次项系数化为1:x^2-x=
      方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-x+( )^2= +( )^2
      配方:(x-)^2=
      直接开平方得:x-=±
      ∴x=
      ∴原方程的解为x1=,x2= .
      3.公式法:把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
      当b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a(两个不相等的实数根)
      当b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a(两个相等的实数根)
      当b^2-4ac<0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a(两个共轭的虚数根)(初中理解为无实数根)
      例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5
      解:将方程化为一般形式:2x^2-8x+5=0
      ∴a=2, b=-8, c=5
      b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
      ∴x= = =
      ∴原方程的解为x1=,x2= .
      4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
      两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
      根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
      例4.用因式分解法解下列方程:
      (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
      (3) 6x^2+5x-50=0 (选学) (4)x^2-4x+4=0 (选学)
      (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
      x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
      (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
      ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
      ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
      (2)解:2x^2+3x=0
      x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
      ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
      ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
      注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
      (3)解:6x2+5x-50=0
      (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
      ∴2x-5=0或3x+10=0
      ∴x1=, x2=- 是原方程的解。
      (4)解:x^2-4x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
      (x-2)(x-2 )=0
      ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
      小结:
      一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
      形式,同时应使二次项系数化为正数。
      直接开平方法是最基本的方法。
      公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
      法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
      是否有解。
      配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
      解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
      法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
      例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
      (1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0 (2)x^2+2x-3=0
      (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
      分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
      公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
      (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
      (3)化成一般形式后利用公式法解。
      (4)把方程变形为 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
      (1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
      [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
      (5x-5)(-x+13)=0
      5x-5=0或-x+13=0
      ∴x1=1,x2=13
      (2)解: x^2+2x-3=0
      [x-(-3)](x-1)=0
      x-(-3)=0或x-1=0
      ∴x1=-3,x2=1
      (3)解:x^2-2 x=-
      x^2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
      △=(-2 )^2-4 ×=12-8=4>0
      ∴x=
      ∴x1=,x2=
      (4)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
      4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
      [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
      2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
      ∴x1= ,x2=
      例6.求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。 (选学)
      分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
      们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
      法)
      解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
      即 (5x-5)(2x-3)=0
      ∴5(x-1)(2x-3)=0
      (x-1)(2x-3)=0
      ∴x-1=0或2x-3=0
      ∴x1=1,x2=是原方程的解。
      例7.用配方法解关于x的一元二次方程x^2+px+q=0
      解:x^2+px+q=0可变形为
      x^2+px=-q (常数项移到方程右边)
      x^2+px+( )2=-q+( )2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
      (x+)2= (配方)
      当p^2-4q≥0时,≥0(必须对p^2-4q进行分类讨论)
      ∴x=- ±=
      ∴x1= ,x2=
      当p^2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
      说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
      取值的要求,必要时进行分类讨论。
      练习:
      (一)用适当的方法解下列方程:
      1. 6x^2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
      3. x^2-x=0 4. x^2-4x+4=0
      5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
      (二)解下列关于x的方程
      1.x^2-ax+-b2=0 2. x^2-( + )ax+ a2=0
      练习参考答案:
      (一)1.x1=-1/2 ,x2=2/3 2.x1=2,x2=-2
      3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
      6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
      [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
      即 (2x+9)(2x+2)=0
      ∴2x+9=0或2x+2=0
      ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
      (二)1.解:x^2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x^2-(+ )ax+ a· a=0
      [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
      ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
      ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
      原方程的解。 原方程的解。
      测试(有答案在下面)
      选择题
      1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
      A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
      2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
      A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
      3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
      根是( )。
      A、0 B、1 C、-1 D、±1
      4. 一元二次方程ax^2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
      A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
      C、b=0且c=0 D、c=0
      5. 方程x^2-3x=10的两个根是( )。
      A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
      6. 方程x^2-3x+3=0的解是( )。
      A、 B、 C、 D、无实根
      7. 方程2x^2-0.15=0的解是( )。
      A、x= B、x=-
      C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
      8. 方程x^2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
      A、(x-)2= B、(x- )2=-
      C、(x- )2= D、以上答案都不对
      9. 已知一元二次方程x^2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
      A、(x-1)^2=m2+1 B、(x-1)^2=m-1 C、(x-1)^2=1-m D、(x-1)^2=m+1
      答案与解析
      答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
      解析:
      1.分析:移项得:(x-5)^2=0,则x1=x2=5,
      注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
      2.分析:依题意得:a^2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
      3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax^2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
      时,方程成立,则必有根为x=1。
      4.分析:一元二次方程 ax^2+bx+c=0若有一个根为零,
      则ax^2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
      另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
      5.分析:原方程变为 x^2-3x-10=0,
      则(x-5)(x+2)=0
      x-5=0 或x+2=0
      x1=5, x2=-2.
      6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
      7.分析:2x2=0.15
      x2=
      x=±
      注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
      8.分析:两边乘以3得:x^2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x^2-3x+(-)2=12+(- )^2,
      整理为:(x-)2=
      方程可以利用等式性质变形,并且 x^2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
      9.分析:x^2-2x=m, 则 x^2-2x+1=m+1
      则(x-1)^2=m+1.
      中考解析
      考题评析
      1.(甘肃省)方程的根是( )
      (A) (B) (C) 或 (D) 或
      评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
      选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
      二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
      C。
      另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
      2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
      评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
      3.(辽宁省)方程的根为( )
      (A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
      评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
      B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
      4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
      评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
      5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
      (A)x=3+2 (B)x=3-2
      (C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
      评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
      根,即可选出答案。
      课外拓展
      一元二次方程
      一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
      次的整式方程。 一般形式为
      ax^2+bx+c=0, (a≠0)
      在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它
      的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使
      x=1, x+ =b,
      x^2-bx+1=0,
      他们做出( )2;再做出 ,然后得出解答:+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次
      方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的。
      埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax^2=b。
      在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
      希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中
      之一。
      公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公
      式。
      在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种
      不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成
      不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一 次
      给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的
      数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
      韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系。
      我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学
      家还在方程的研究中应用了内插法。
    [编辑本段]判别方法
      一元二次方程的判断式:
      b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根.
      b^2-4ac=0 方程有两个相等的实数根.
      b^2-4ac<0 方程有两个共轭的虚数根(初中可理解为无实数根).
      上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.
    [编辑本段]列一元二次方程解题的步骤
      (1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
      (2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
      (3)找出相等关系,并用它列出方程;
      (4)解方程求出题中未知数的值;
      (5)检验所求的答案是否符合题意,并做答.
    [编辑本段]经典例题精讲
      1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
      2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
      3.一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
      4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
    [编辑本段]韦达定理
      韦达(Vieta's ,Francois,seigneurdeLa Bigotiere)1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律,后任律师,1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码,赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。
      他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。
      韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
      韦达定理(Viete's Theorem)的内容
      一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
      设两个根为X1和X2
      则X1+X2= -b/a
      X1*X2=c/a
      韦达定理的推广
      韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0
      它的根记作X1,X2…,Xn
      我们有
      ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
      ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
      …
      ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
      其中∑是求和,Π是求积。
      如果一元二次方程
      在复数集中的根是,那么
      法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
      由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
      在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
      其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
      韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
      韦达定理的证明
      设x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
      有:a(x-x1)(x-x2)=0
      所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
      通过对比系数可得:
      -a(x1+x2)=b ax1x2=c
      所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
      韦达定理推广的证明
      设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
      则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
      所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
      通过系数对比可得:
      A(n-1)=-An(∑xi)
      A(n-2)=An(∑xixj)
      …
      A0==(-1)^n*An*ΠXi
      所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
      ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
      …
      ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
      其中∑是求和,Π是求积。
    [编辑本段]计算机解一元二次方程
      
    VB实现方法

      '该代码仅可实现一般形式的求值,并以对话框形式显示。
      dim a,b,c,i
      '在这里添加a、b、c的赋值过程
      '例如:a=text1.text
      'b=text2.text
      'c=text3.text
      if a*2 <> 0 then
      i=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/2
      msgbox i
      i=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/2
      msgbox i
      else
      msgbox("2a为零")
      end if

    09-08-21 | 添加评论 | 打赏

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    跑步运动

    一元二次方程  
    解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
      法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
      例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
      (1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0 (2)x^2+2x-3=0
      (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
      分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
      公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
      (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
      (3)化成一般形式后利用公式法解。
      (4)把方程变形为 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
      (1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
      [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
      (5x-5)(-x+13)=0
      5x-5=0或-x+13=0
      ∴x1=1,x2=13
      (2)解: x^2+2x-3=0
      [x-(-3)](x-1)=0
      x-(-3)=0或x-1=0
      ∴x1=-3,x2=1
      (3)解:x^2-2 x=-
      x^2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
      △=(-2 )^2-4 ×=12-8=4>0
      ∴x=
      ∴x1=,x2=
      (4)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
      4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
      [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
      2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
      ∴x1= ,x2=
      例6.求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。 (选学)
      分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
      们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
      法)
      解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
      即 (5x-5)(2x-3)=0
      ∴5(x-1)(2x-3)=0
      (x-1)(2x-3)=0
      ∴x-1=0或2x-3=0
      ∴x1=1,x2=是原方程的解。
      例7.用配方法解关于x的一元二次方程x^2+px+q=0
      解:x^2+px+q=0可变形为
      x^2+px=-q (常数项移到方程右边)
      x^2+px+( )2=-q+( )2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
      (x+)2= (配方)
      当p^2-4q≥0时,≥0(必须对p^2-4q进行分类讨论)
      ∴x=- ±=
      ∴x1= ,x2=
      当p^2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
      说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
      取值的要求,必要时进行分类讨论。
      练习:
      (一)用适当的方法解下列方程:
      1. 6x^2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
      3. x^2-x=0 4. x^2-4x+4=0
      5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
      (二)解下列关于x的方程
      1.x^2-ax+-b2=0 2. x^2-( + )ax+ a2=0
      练习参考答案:
      (一)1.x1=-1/2 ,x2=2/3 2.x1=2,x2=-2
      3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
      6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
      [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
      即 (2x+9)(2x+2)=0
      ∴2x+9=0或2x+2=0
      ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
      (二)1.解:x^2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x^2-(+ )ax+ a· a=0
      [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
      ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
      ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
      原方程的解。 原方程的解。
      测试(有答案在下面)
      选择题
      1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
      A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
      2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
      A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
      3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
      根是( )。
      A、0 B、1 C、-1 D、±1
      4. 一元二次方程ax^2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
      A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
      C、b=0且c=0 D、c=0
      5. 方程x^2-3x=10的两个根是( )。
      A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
      6. 方程x^2-3x+3=0的解是( )。
      A、 B、 C、 D、无实根
      7. 方程2x^2-0.15=0的解是( )。
      A、x= B、x=-
      C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
      8. 方程x^2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
      A、(x-)2= B、(x- )2=-
      C、(x- )2= D、以上答案都不对
      9. 已知一元二次方程x^2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
      A、(x-1)^2=m2+1 B、(x-1)^2=m-1 C、(x-1)^2=1-m D、(x-1)^2=m+1
      答案与解析
      答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
      解析:
      1.分析:移项得:(x-5)^2=0,则x1=x2=5,
      注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
      2.分析:依题意得:a^2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
      3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax^2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
      时,方程成立,则必有根为x=1。
      4.分析:一元二次方程 ax^2+bx+c=0若有一个根为零,
      则ax^2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
      另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
      5.分析:原方程变为 x^2-3x-10=0,
      则(x-5)(x+2)=0
      x-5=0 或x+2=0
      x1=5, x2=-2.
      6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
      7.分析:2x2=0.15
      x2=
      x=±
      注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
      8.分析:两边乘以3得:x^2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x^2-3x+(-)2=12+(- )^2,
      整理为:(x-)2=
      方程可以利用等式性质变形,并且 x^2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
      9.分析:x^2-2x=m, 则 x^2-2x+1=m+1
      则(x-1)^2=m+1.
      中考解析
      考题评析
      1.(甘肃省)方程的根是( )
      (A) (B) (C) 或 (D) 或
      评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
      选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
      二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
      C。
      另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
      2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
      评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
      3.(辽宁省)方程的根为( )
      (A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
      评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
      B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
      4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
      评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
      5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
      (A)x=3+2 (B)x=3-2
      (C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
      评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
      根,即可选出答案。
      课外拓展
      一元二次方程
      一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
      次的整式方程。 一般形式为
      ax^2+bx+c=0, (a≠0)
      在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它
      的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使
      x=1, x+ =b,
      x^2-bx+1=0,
      他们做出( )2;再做出 ,然后得出解答:+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次
      方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的。
      埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax^2=b。
      在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
      希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中
      之一。
      公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公
      式。
      在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种
      不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成
      不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一 次
      给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的
      数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
      韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系。
      我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学
      家还在方程的研究中应用了内插法。
    [编辑本段]判别方法
      一元二次方程的判断式:
      b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根.
      b^2-4ac=0 方程有两个相等的实数根.
      b^2-4ac<0 方程有两个共轭的虚数根(初中可理解为无实数根).
      上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.
    [编辑本段]列一元二次方程解题的步骤
      (1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
      (2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
      (3)找出相等关系,并用它列出方程;
      (4)解方程求出题中未知数的值;
      (5)检验所求的答案是否符合题意,并做答.
    [编辑本段]经典例题精讲
      1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
      2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
      3.一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
      4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
    [编辑本段]韦达定理
      韦达(Vieta's ,Francois,seigneurdeLa Bigotiere)1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律,后任律师,1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码,赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。
      他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。
      韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
      韦达定理(Viete's Theorem)的内容
      一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
      设两个根为X1和X2
      则X1+X2= -b/a
      X1*X2=c/a
      韦达定理的推广
      韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0
      它的根记作X1,X2…,Xn
      我们有
      ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
      ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
      …
      ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
      其中∑是求和,Π是求积。
      如果一元二次方程
      在复数集中的根是,那么
      法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
      由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
      在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
      其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
      韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
      韦达定理的证明
      设x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
      有:a(x-x1)(x-x2)=0
      所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
      通过对比系数可得:
      -a(x1+x2)=b ax1x2=c
      所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
      韦达定理推广的证明
      设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
      则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
      所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
      通过系数对比可得:
      A(n-1)=-An(∑xi)
      A(n-2)=An(∑xixj)
      …
      A0==(-1)^n*An*ΠXi
      所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
      ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
      …
      ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
      其中∑是求和,Π是求积。
    [编辑本段]计算机解一元二次方程
      
    VB实现方法

       '该代码仅可实现一般形式的求值,并以对话框形式显示。
      dim a,b,c,i
      '在这里添加a、b、c的赋值过程
      '例如:a=text1.text
      'b=text2.text
      'c=text3.text
      if a*2 <> 0 then
      i=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/2
      msgbox i
      i=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/2
      msgbox i
      else
      msgbox("2a为零")
      end if
    目录[隐藏]

    定义
    一般形式
    一般解法
    判别方法
    列一元二次方程解题的步骤
    经典例题精讲
    韦达定理
    计算机解一元二次方程VB实现方法
    定义
    一般形式
    一般解法
    判别方法
    列一元二次方程解题的步骤
    经典例题精讲
    韦达定理
    计算机解一元二次方程 VB实现方法

      
    [编辑本段]定义
      在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
      一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.
    [编辑本段]一般形式
      ax^2+bx+c=0(a、b、c是实数a≠0)
      x^2+2x+1=0
    [编辑本段]一般解法
      1..配方法(可解所有一元二次方程)
      2.公式法(可解所有一元二次方程)
      3.因式分解法(可解部分一元二次方程)
      4.开方法(可解部分一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的,不过要一般形式)
      一、知识要点:
      一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
      础,应引起同学们的重视。
      一元二次方程的一般形式为:ax^2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
      的整式方程。
      解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
      法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
      二、方法、例题精讲:
      1、直接开平方法:
      直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
      方程,其解为x=m± .
      例1.解方程(1)(3x+1)^2=7 (2)9x^2-24x+16=11
      分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以
      此方程也可用直接开平方法解。
      (1)解:(3x+1)^2=7
      ∴(3x+1)^2=7
      ∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
      ∴x= ...
      ∴原方程的解为x1=...,x2= ...
      (2)解: 9x^2-24x+16=11
      ∴(3x-4)^2=11
      ∴3x-4=±√11
      ∴x= ...
      ∴原方程的解为x1=...,x2= ...
      2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
      先将固定数c移到方程右边:ax^2+bx=-c
      将二次项系数化为1:x^2+x=-
      方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x^2+x+( )2=- +( )2
      方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
      当b2-4ac≥0时,x+ =±
      ∴x=...(这就是求根公式)
      例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
      解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
      将二次项系数化为1:x^2-x=
      方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-x+( )^2= +( )^2
      配方:(x-)^2=
      直接开平方得:x-=±
      ∴x=
      ∴原方程的解为x1=,x2= .
      3.公式法:把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
      当b^2-4ac>0时,求根公式为x1=-b+√(b^2-4ac)/2a,x2==-b-√(b^2-4ac)/2a(两个不相等的实数根)
      当b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a(两个相等的实数根)
      当b^2-4ac<0时,求根公式为x1=-b+√(4ac-b^2)i/2a,x2=-b-√(4ac-b^2)i/2a(两个共轭的虚数根)(初中理解为无实数根)
      例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5
      解:将方程化为一般形式:2x^2-8x+5=0
      ∴a=2, b=-8, c=5
      b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
      ∴x= = =
      ∴原方程的解为x1=,x2= .
      4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
      两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
      根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
      例4.用因式分解法解下列方程:
      (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
      (3) 6x^2+5x-50=0 (选学) (4)x^2-4x+4=0 (选学)
      (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
      x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
      (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
      ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
      ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
      (2)解:2x^2+3x=0
      x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
      ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
      ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
      注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
      (3)解:6x2+5x-50=0
      (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
      ∴2x-5=0或3x+10=0
      ∴x1=, x2=- 是原方程的解。
      (4)解:x^2-4x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
      (x-2)(x-2 )=0
      ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
      小结:
      一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
      形式,同时应使二次项系数化为正数。
      直接开平方法是最基本的方法。
      公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
      法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
      是否有解。
      配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
      

    09-08-21 | 添加评论 | 打赏

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  • 0

    zzcsgtc1

    怎么样的方程呢?要求解,还是。。。
    得把题目说清楚来啊!

    09-08-21 | 添加评论 | 打赏

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  • 0

    457231381

    支持zzcsgtc1

    09-08-21 | 添加评论 | 打赏

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  • 0

    rrfming

    ax2+bx+c=0

    09-08-21 | 添加评论 | 打赏

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