求函数的值域的方法是什么?

求函数的值域的方法是什么?
09-01-14  爱人_xun 发布
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    yghyuwu

    函数值域的求法:
      ①配方法:常转化为型如:y=±a(x+m)∧2+k 的形式;
      ②逆求法(反表示法):通过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,通过解关于y的不等式,得出y的取值范围;常用来解,型如: ;
      ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,注意元的范围,化归思想;
      ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
      ⑥基本不等式法:转化成型如:x+a/x ,利用平均值不等式(高一上第二章基本不等式1,2)公式来求值域;
      ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性,由定义域求值域。
      ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。
      ⑨△法:一般地,(当定义域为R时)转化为关于x的二次函数,把y看成x的参数,计算△,由x的范围(有值可取)求△的范围(△>=0),从而得到y的范围

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    好人o

    如果-b/2a在定义域里的话,那么这一个x值对应的y是值域的一个端点。再把定义域的两个端点带进去,比较三个数的大小。取最大和最小作为至于断电就行了(b/-2a一定是最值,如果你算的不是的话...那就是你某一部算错了:))。
    注意:如果定义域是开区间,那么-b/2a对应的y值那个端点是要用中括号的。

    如果-b/2a不在定义域里的话,那就带入端点就行了。

    貌似我就是这样做题的...应该不会有什么错误

    对你老师不敬一下...死板啊

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    F__King

    求 函数值域的几种常见方法
    1.直接法:利用常见函数的值域来求
    一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R;
    反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0};
    二次函数 的定义域为R,
    当a>0时,值域为{ };当a<0时,值域为{ }.
    例1.求下列函数的值域
    ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
    解:①∵-1 x 1,∴-3 3x 3,
    ∴-1 3x+2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5]
    ②∵ ∴
    即函数 的值域是 { y| y 2}

    ④当x>0,∴ = ,
    当x<0时, =-
    ∴值域是 [2,+ ).(此法也称为配方法)
    函数 的图像为:
    2.二次函数比区间上的值域(最值):
    例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:
    ① ;
    解:∵ ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.
    ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
    ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y -3 }.
    ②∵顶点横坐标2 [3,4],
    当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
    ∴在[3,4]上, =-2, =1;值域为[-2,1].
    ③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,
    ∴在[0,1]上, =-2, =1;值域为[-2,1].
    ④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6,
    ∴在[0,1]上, =-3, =6;值域为[-3,6].
    注:对于二次函数 ,
    ⑴若定义域为R时,
    ①当a>0时,则当 时,其最小值 ;
    ②当a<0时,则当 时,其最大值 .
    ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
    ①若 [a,b],则 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 的大小决定函数的最大(小)值.
    ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值.
    注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
    ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
    3.判别式法(△法):
    判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
    例3.求函数 的值域
    方法一:去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
    当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
    由此得 (5y+1) 0
    检验 时 (代入①求根)
    ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴
    再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
    综上所述,函数 的值域为 { y| y11且 y1 }
    方法二:把已知函数化为函数 (x12)
    ∵ x=2时 即
    说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
    4.换元法
    例4.求函数 的值域
    解:设 则 t 0 x=1-
    代入得
    5.分段函数
    例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
    解法1:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y 3}.
    解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+ ]. 如图
    两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.
    说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法.
    三、练习:
    1 ;
    解:∵x 0, ,∴y 11.
    另外,此题利用基本不等式解更简捷:
    2
    ∵2 -4x+3>0恒成立(为什么?),
    ∴函数的定义域为R,
    ∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0,由判别式 0,
    即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),
    解得0 y 5,又∵y 0, ∴0 注意:利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.
    3 求函数的值域
    ① ; ②
    解:①令 0,则 ,
    原式可化为 ,
    ∵u 0,∴y ,∴函数的值域是(- , ].
    ②解:令 t=4x- 0 得 0 x 4
    在此区间内 (4x- ) =4 ,(4x- ) =0
    ∴函数 的值域是{ y| 0 y 2}
    小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.
    作业:求函数y= 值域
    解:∵ ,
    ∴函数的定义域R,原式可化为 ,
    整理得 ,
    若y=1,即2x=0,则x=0;
    若y 1,∵ R,即有 0,
    ∴ ,解得 且 y 1.
    综上:函数是值域是{y| }.

    09-01-15 | 添加评论 | 打赏

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