等边三角形的边长为A,求他的中线长,并求出其面积。

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09-08-29  getinwell 发布
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    shanchu2009

    为了便于证明,我做一些修改,记等边三角形边长为L(不用原题中的a),PA=a,PB=b,PC=c
    如图,由P做三边的垂线,不难知道,
    PA(cos∠3+cos∠4)+PB(cos∠5+cos∠6)+PC(cos∠1+cos∠2)=3L
    利用余弦的和差化积公式得
    2PA*cos30*cos[(∠3-∠4)/2]+2PB*cos30*cos[(∠5-∠6)/2]+2PC*cos30*cos[(∠1-∠2)/2]=3L
    PA*cos[(∠3-∠4)/2]+PB*cos[(∠5-∠6)/2]+PC*cos[(∠1-∠2)/2]=√3L
    (2/√3)*cos[(∠3-∠4)/2]*PA+(2/√3)*cos[(∠5-∠6)/2]*PB+(2/√3)*cos[(∠1-∠2)/2]*PC=2L
    因为(∠3-∠4)/2∈(-30,30)
    所以cos[(∠3-∠4)/2]∈(√3/2,1)
    所以(2/√3)*cos[(∠3-∠4)/2]∈(1,2/√3)
    若分别记(2/√3)*cos[(∠3-∠4)/2]=k,(2/√3)*cos[(∠5-∠6)/2]=m,(2/√3)*cos[(∠1-∠2)/2]=n
    则kPA+mPB+nPC=2L
    由于k,m,n∈(1,2/√3)
    所以PA+PB+PC∈(√3L,2L)

    09-08-29 | 添加评论 | 打赏

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    weir0929

    等边三角形三线合一的,

    所以中线就是垂线,

    所以中线={A^2-(A/2)^2}开根号=√3A/2

    面积=1/2*A*√3A/2==√3A^2/4.

    09-08-29 | 添加评论 | 打赏

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