论足球领域里,悲观情况与乐观情况是如何转变的

  在一场足球比赛中,时常出现比分落后的球队的球迷感到失望,连电视机前的球迷都换台的情况;但可能仅仅过了10分钟左右,无意中换回台的球迷又燃起了希望;之后的10分钟左右,落后方的球迷既有可能看到希望即将成真,也有可能陷入更深一层的失望,甚至陷入绝望。
  在一个赛季的联赛中,时常出现以夺冠为目标,但积分暂时排名第二的球队的球迷感到失望,连电视机前的球迷都懒得看战报情况;但可能仅仅过了一轮,无意中看到新闻中的战报的球迷又燃起了希望;又经过一轮之后,落后方的球迷既有可能看到希望即将成真,也有可能陷入更深一层的失望,甚至陷入绝望。
  那么悲观情况与乐观情况是如何转变的呢?
  先看单场比赛。
  如果一场比赛,你支持的球队至少需要一场平局;但上半场你支持的球队先丢一球;比赛进行到第70分钟时,对方的第二次破门你支持的球队以0:2落后,你觉得还有多大的可能扳平?
  我们可以看出,这种情况意味着,在接下来的20分钟时间里,落后方需要至少比领先方多进2球才行;因此,想必大部分人对此感到悲观。
  但如果你的球队在第81分30秒时扳回一球,想必大部分人又开始乐观起来了吧!
  为什么是这样呢?
  首先,如果这场比赛无限进行下去,第三个进球和第四个进球迟早会到来;如果比赛进行到第70分钟时,落后方以0:2落后,落后方要做的是让第三个进球和第四个进球在接下来的20分钟(加上伤停补时在23分钟左右)内出现,且这两个进球都是落后方攻进领先方的大门(其实这不绝对,因为如果在比赛最后时刻,落后方的球队进三球,在其中的第一球和第二球之间,领先方了进一球的话,落后方还是能扳平比分的;不过这是小概率事件,这里不考虑)。
  那么这种事情发生的概率有多大呢?
  从【上一个进球完成】到【下一个进球完成】所用的时间的长度不固定,因此这是一个随机变量;虽然有普朗克时间理论认为时间是量子化的,但相对于20分钟而言,时间量子的数量级太小,因此在本文中,我们可以认为时间是连续的;所以,可以认为这个变量是一个连续变量,服从某个连续型随机变量的概率分布。
  一般地,这种随着时间的推移,随时可能发生某个事件的概率分布属于指数分别,常见的指数分布有电子元器件的使用寿命的分布(随着时间的推移,元器件随时可能坏掉)、放射性衰变的时间分布等;但一个进球出现之后,由于球员需要调整攻防状态,一两分钟内很难再有第二个进球,这与指数分布不符。
  因此,我们的假设是:全场第二个进球发生之后1.5分钟无进球;从71分30秒开始计时,第三个进球完成的时间服从指数分布。
  同样地,假设全场第三个进球发生之后1.5分钟无进球;从第三个进球发生之后1.5分钟开始计时,第四个进球完成的时间服从指数分布。
  设进第三个球所用的时间为X(从第二个进球之后开始算起,到第三个进球发生所用的时间,单位为分钟),进第四个球所用的时间为Y(从第三个进球之后开始算起,到第四个进球发生所用的时间,单位为分钟),再设X’=X-1.5,Y’=Y-1.5,则X’、 Y’服从相同的指数分布。
  设参数为λ(根据指数函数的性质,1/λ为函数的数学期望),则这两个指数分布的概率密度如下:

  


  两个事件可视为相互独立事件,因此联合概率密度如下:

  

  下面开始计算,首先需要计算的是,【从第二个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率。
  设从第二个进球发生时到比赛结束,剩余的时间为T(单位为分钟),再设T减去两次调整攻防状态的时间(各1.5分钟,共3分钟),得到的时间为T’(单位为分钟),则T’=T-3。
  所以,【从第二个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率是【以下三个条件同时成立】的概率:
  X≥1.5,Y≥1.5,X+Y≤T
  或者:
  X’≥0,Y’≥0,X’+Y’≤T’
  那么需要求的概率如下:

  

  由于T=23(从第70分钟到第90分钟一共20分钟,加上伤停补时一共23分钟左右),所以T’=23-3=20。
  再考虑λ,参照欧洲五大联赛的进球效率,2015——2016赛季欧洲五大联赛一共踢了1860场,进了4834球(英超380场1026球,西甲380场1043球,意甲380场939球,德甲340场866球,法甲380场960球);按一场96分钟算,是178560分钟进了4834球,平均36.94分钟进一球。
  但不能因此就说1/λ=36.94,因为这个36.94分钟包括调整攻防状态的时间;更重要的是,1/λ是【从上一个进球发生到下一个进球发生的时间】扣除【调整时间】的数学期望,而这个36.94分钟包括【进完全场最后一个球后额外富裕出的时间】(举个例子,如果一场比赛无限进行下去的话,第40分钟、第80分钟、第120分钟会各出现一个进球的话,从上一个进球发生到下一个进球发生的时间的数学期望是40分钟,扣除调整时间是38.5分钟;但由于裁判会在第96分钟吹响结束哨音,因此算出来的结果是48分钟一个进球),因此1/λ应该比36.94小。
  所以,假设1/λ=30相对合理,即λ=1/30。
  将λ=1/30、T’=23-3=20带入式子:

  

  也就是说【从第二个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率约为14.4%。
  接下来计算落后方能扳平比分的概率,由于这两个进球必须都是由落后方攻入领先方的大门,落后方才能扳平比分,设在全部四种情况(两个进球都是由落后方攻入;两个进球都是由领先方攻入;第一个进球由落后方攻入,第二个进球由领先方攻入;第一个进球由领先方攻入,第二个进球由落后方攻入)中,这种情况发生的概率为α,如果两个进球由领先方或落后方攻入的概率都是50%的话,α=50%×50%=25%理论上,落后方能扳平比分的概率只有14.4%×25%=3.6%。
  当然,这只是理论上的情况,真实情况未必能悲观到这种地步,因为根据统计,足球比赛在第85分钟之后的进球效率往往高于全场比赛的平均进球效率,所以λ应该比1/30要大。如果λ=1/25,3.6%会变成4.78%;如果λ=1/20,3.6%会变成6.61%……
  但值得注意的是,能在前70分钟就领先两球的球队往往是实力更强的球队,而如果接下来有进球,也更有可能是强队打入的,所以这仍然是一个十分悲观的数据——翻开世界杯的历史,某支球队在比赛进行到第70分钟或第100分钟时,以0:2或1:3或2:4落后的情况下,能在90分钟或120分钟内将比分扳平的情况仅出现了5次(1962年世界杯苏联队在2:4落后哥伦比亚队的情况下将比分扳成4:4,1982年世界杯德国队在1:3落后法国队的情况下将比分扳成3:3,1994年世界杯韩国队在0:2落后西班牙队的情况下将比分扳成2:2,1998年世界杯德国队在0:2落后南斯拉夫队的情况下将比分扳成2:2,1998年世界杯墨西哥队在0:2落后荷兰队的情况下将比分扳成2:2),而未能扳平的情况仅仅2014年世界杯就出现了12次(荷兰队5:1西班牙队、哥伦比亚队3:0希腊队、阿根廷队2:1波黑队、智利队2:0西班牙队、哥伦比亚队2:1科特迪瓦队、巴西队4:1喀麦隆队、西班牙队3:0澳大利亚队、波黑队3:1伊朗队、瑞士队3:0洪都拉斯队、哥伦比亚队2:0乌拉圭队、巴西2:1哥伦比亚队、荷兰3:0巴西队,其中有的第70分钟后双方均未破门,有的第70分钟后落后方仅扳回一球,有的第70分钟后领先方扩大了战果);值得注意的是,早期世界杯的进球效率是比36.94分钟进一球更快的;另外,这些比赛大部分都是领先方在第70分钟之前就领先两球的,所以给两个1.5分钟作为调整时间,实际上是把T’算短了。
  由此可见,α很可能比25%小,所以情况恐怕还真的能悲观到这种地步。
  但如果落后方在第81分30秒时扳回一球呢?
  此时距离比赛结束还有11.5分钟;扣除1.5分钟的调整时间,还有10分钟;此时需要计算的是落后方在10分钟之内扳回一球的概率。
  此时首先需要计算的是【从第三个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率。仍然设参数为λ,则概率密度如下:

  

  由于此时距离比赛结束还有11.5分钟;扣除1.5分钟的调整时间,还有10分钟,所以需要满足的条件是0≤Y’≤10,故这个概率的计算如下:

  

  将λ=1/30代入,则【从第三个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率约为28.3%;假设这个进球由领先方或落后方攻入的概率是50%的话,理论上,落后方能扳平比分的概率是28.3%×50%≈14.2%。
  14.2%也不算太大,但比起3.6%真是乐观太多了(毕竟对于落后方来说,能有10%以上的追平希望就算不错了);何况,【第85分钟之后的进球效率高于全场比赛的平均进球效率】这一规律在第81分30秒之后起的作用更明显。
  但如果落后方在第75分或78分将比分扳平,领先方在第80分时又打进一球,3:1领先了呢?此时落后方的球迷势必又悲观了起来,并且失望会变成绝望——大家可以自行把T’=10代入公式,计算一下概率。
  以上是单场比赛情况悲观与情况乐观的例子,下面说整个赛季的例子。
  如果一个赛季还有五轮比赛结束,你支持的球队落后领头羊4分排名第二(其他球队远远落后,无法追赶了),最后五轮你支持的球队与领头羊没有直接交手的话,你对夺冠是乐观还是悲观?
  如果倒数第五轮,你支持的球队赢了,领头羊被逼平了呢?
  如果倒数第四轮,你支持的球队被逼平了,领头羊赢了呢?
  如果倒数第三轮,你支持的球队赢了,领头羊输了呢?
  收拾一下你过山车般的心情,看看计算。
  首先估计一下两队对阵积分榜第二名开外的球队的胜率、平率、负率。
  仍然参照2015——2016赛季的欧洲五大联赛,五个联赛冠军和五个联赛亚军对阵联赛其他球队的成绩为246胜66平40负(莱斯特城队23胜12平1负,阿森纳队18胜11平7负,巴塞罗那队28胜4平4负,皇家马德里队27胜6平3负,尤文图斯队28胜4平4负,那不勒斯队24胜7平5负,拜仁慕尼黑队27胜3平2负,多特蒙德队24胜5平3负,巴黎圣日耳曼队29胜6平1负,里昂队18胜8平10负),胜率约69.9%,平率约18.8%,负率约11.4%;取整,设两队对阵积分榜第二名开外的球队的胜率、平率、负率分别为70%、20%、10%。
  设联赛还有五轮时,甲队领先乙队5分,则根据假设,最后五轮甲、乙取得如下分数的概率是相等的:

  
  联赛结束时,乙队积分比甲队高的情况及概率列表如下:

  

  合计0.0552062056,约5.5%。
  联赛结束时,乙队积分和甲队相同的情况及概率列表如下:

  


  合计0.0451320552,约4.5%。
  总计0.100338268,约10.0%;若两队最终的积分并列第一的情况下,两队夺冠的概率都是50%;则乙队能夺冠的概率为0.0552062056+0.0451320552×50%=0.0777722332,约7.8%。
  设联赛还有四轮时,甲队领先乙队3分,则根据假设,最后四轮甲、乙取得如下分数的概率是相等的:

  

  联赛结束时,乙队积分比甲队高的情况及概率列表如下:

  

  合计0.12762605,约12.8%。
  联赛结束时,乙队积分和甲队相同的情况及概率列表如下:

  


  合计0.07884008,约7.9%。
  总计0.20646613,约20.6%;若两队最终的积分并列第一的情况下,两队夺冠的概率都是50%;则乙队能夺冠的概率为0.12762605+0.07884008×50%=0.16704609,约16.7%。
  设联赛还有三轮时,甲队领先乙队5分,则根据假设,最后三轮甲、乙取得如下分数的概率是相等的:

  


  联赛结束时,乙队积分比甲队高的情况及概率列表如下:

  


  合计0.018669,约1.9%。
  联赛结束时,乙队积分和甲队相同的情况及概率列表如下:

  


  合计0.033306,约3.3%。
  总计0.051975,约5.2%;若两队最终的积分并列第一的情况下,两队夺冠的概率都是50%;则乙队能夺冠的概率为0.018669+0.033306×50%=0.035322,约3.5%。
  设联赛还有两轮时,甲队领先乙队2分,则根据假设,最后两轮甲、乙取得如下分数的概率是相等的:

  


  联赛结束时,乙队积分比甲队高的情况及概率列表如下:

  


  合计0.1281,约12.8%。
  联赛结束时,乙队积分和甲队相同的情况及概率列表如下:

  


  合计0.2048,约20.4%。
  总计0.3329,约33.2%;若两队最终的积分并列第一的情况下,两队夺冠的概率都是50%;则乙队能夺冠的概率为0.1281+0.2048×50%=0.2305,约23.1%。
  如果概率越高越乐观的话,计算结果想必跟大家的心情一样:剩五轮时比较失望,剩四轮时燃起希望,剩三轮时陷入绝望,剩两轮时又燃起更大的希望。
  2013——2014赛季英超联赛最后几轮,曼城、利物浦、切尔西三队激烈地争夺冠军,三队交替输球或被逼平,所以三队的球迷的心情也如同过山车。
  其实,即便是在联赛中程,也存在类似的规律:2011——2012赛季的西甲联赛第22轮之后,巴塞罗那队落后皇家马德里队7分,此时巴塞罗那队主教练瓜迪奥拉仍然乐观,因为联赛还有16轮,在第35轮两队有一次直接交手,如果巴塞罗那队能获胜,并且皇家马德里队在其余15轮比巴塞罗那队多犯两次错误的话,巴塞罗那队仍然是冠军;但第23轮,皇家马德里队赢了,巴塞罗那队输了,此时的瓜迪奥拉也悲观了,因为巴塞罗那队要夺冠,除了需要在与皇家马德里队的直接交锋中获胜之外,还要寄希望于皇家马德里队在其余14轮(已经少了一轮了)联赛中至少比巴塞罗那队多犯三次错误(至少一次是输球)或四次错误(都是被逼平);但此后巴塞罗那队取得了11连胜,而皇家马德里队在第28轮、第29轮和第32轮却犯了四次错误中的三次(三次被逼平),巴塞罗那队只落后4分了,此时巴塞罗那队全上下又乐观了起来;然而第35轮,巴塞罗那队输给了皇家马德里队,联赛仅剩三轮却需要追7分,巴塞罗那队彻底绝望。
  综上所述,无论是单场比赛还是一个赛季,如果一支球队处于落后状态,需要在有限的时间或轮次内出现至少两次利好情况(如追回两球、竞争对手两次输球或被逼平)才能追回来的话,由于追回来的概率较小,该队及其球迷会悲观;如果一次利好情况出现了,追回来的概率会明显增加,该队及其球迷会乐观起来;此后,出现第二次利好情况会让追回来的概率进一步增加,让当事人更加乐观,而出现不利情况会让追回来的概率下降,甚至降到谷底,当事人则会重新悲观,甚至比原来更加悲观。
  需要指出的是,有时利好情况不是追回一球或联赛竞争对手未能获胜,而是让参数向着对自己有利的方向发展。
  比如单场比赛中,如果对方核心球员受伤,很可能会让α上升,同时还有可能让λ上升;而一个赛季进入到后半段,如果对方核心球员受伤,很可能会让对手接下来的比赛的胜率下降。
  其实,在其他体育比赛中,也存在类似的现象。
  以NBA为例,单场比赛如果某队最后时刻落后5分,落后方需要拼三分球、用犯规战术,由于成功率不高,此时落后方的球迷会较为悲观;如果落后方三分投进,则落后方的球迷会相对乐观;落后方接下来会采用犯规战术,在这种情况下,如果领先方两罚中一,落后方抢到篮板,则落后方的球迷会更加乐观;如果领先方两罚中一,但领先方抢到篮板,则落后方的球迷会再次悲观起来,甚至陷入绝望。仍然以NBA为例,对于整个赛季常规赛或七场四胜制的系列赛来说,也类似足球联赛,如2012——2013赛季的湖人队在争夺季后赛席位的进程中,一度落后西部第八的球队很多,需要大量利好情况才能进季后赛时,湖人队的球迷集体悲观,但这些利好情况一个个发生之后,湖人队的球迷又乐观了起来,最终湖人队进入了季后赛;而七场四胜制系列赛,某队0:2落后时,该队的球迷会比较悲观;如果追至1:2,该队的球迷会重燃夺冠希望,乐观起来;接下来,如果该队将比分追至2:2,则该队的球迷会更加乐观,但如果比分变成了1:3,则该队的球迷会重新悲观,甚至近乎绝望。
  当然,事在人为,小概率事件终究会发生的,NBA历史上,在七场四胜制的系列赛中在1:3落后(哪怕之后对手还有主场优势)的情况下翻盘的先例不是没有,相信早晚有一天,在七场四胜制的系列赛中在0:3落后的情况下翻盘的情况也会出现的。有兴趣的读者可以估算一下这种情况出现的概率。
16-07-14  复仇者avenger 发布
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