f(x)=sinx-cosx+sinx 求值域

已知f(x)=sinx-cosx+sinx 求值域
10-03-03  happykevinday 发布
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    育秀佳人

    令t=tg(x/2),t为任意实数,

    则由万能公式:sinα=2t/(1+t^2),cosα=(1-t^2)/(1+t^2) ,

    得:令f(t)=y

    =sinx-cosx+sinx*cosx

    =2t/(1+t^2)-(1-t^2)/(1+t^2)+[2t/(1+t^2)]*[(1-t^2)/(1+t^2)]

    =1-[2(t+1)^2/(1+t^2)^2]

    =1-2(t+1)^2/[(1+t)^2-2(1+t)+2]^2

    =1-2/[(1+t)-2+2/(1+t)]^2

    <1

    再令g(t)=(1+t)+2/(1+t),则|g(t)|=|(1+t)+2/(1+t)|=|1+t|+|2/(1+t)|>=2根号[|1+t|*|2/(1+t)|]=2根号2,其中|1+t|=根号2时取等号

    所以g(t)>=2根号2或者g(t)<=-2根号2

    当t+1>=0时,f(t)=1-2/[(1+t)-2+2/(1+t)]^2=1-2/[g(t)-2]^2>=1-2/[2根号2-2]^2=-(1+2根号2)/2

    当t+1<=0时,f(t)=1-2/[(1+t)-2+2/(1+t)]^2=1-2/[g(t)-2]^2>=1-2/[-2根号2-2]^2=(2根号2-1)/2

    综上所述,-(1+2根号2)/2<=f(t)<1

    所以y=sinx-cosx+sinx*cosx的值域是[-(1+2根号2)/2,1)

    10-12-11 | 添加评论 | 打赏

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  • 0

    育秀佳人

    令a=sinx-cosx

    则a=√2sin(x-π/4)

    所以-√2<=a<=√2



    a²=sin²x+cos²x-2sinxcos=1-sin2x

    sin2x=1-a²

    所以y=-a²+a+1

    =-(a-1/2)²+5/4

    -√2<=a<=√2

    所以a=1/2,y最大=5/4

    a=-√2,y最小=-√2-1

    所以值域[-√2-1,5/4] 

    10-12-11 | 添加评论 | 打赏

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